随机变量的标准化与相关系数,干系的拼音。

但协方差的取值受两个变量各自的量纲影响，数字的意义并不明显，我们只知道独立的随机变量，协方差为零，其他的关系呢？无法从协方差的数字中直接读出。

本日我们将提出一种方法，对协方差进行无量纲化的改动。
会有什么样的结果呢？

我们采取的方法便是对变量进行标准化处理。

如果随机变量X的方差DX存在，且DX>0,则称

X= (X-EX)/√DX为X的标准化随机变量。
我们看到标准化处理便是对原随机变量减其期望再除上其根方差。

由期望方差的运算性子我们可得:

EX=0

D X=1

数值如此大略，难怪X被称为标准化变量。

通过标准化处理任意的随机变量，都转换成了期望为零，方差为1的标准化变量。

标准化的目的便是肃清量纲希望以及方差的不同，对数据比较所造成的影响。

在综合评价中，标准分便是一个主要指标。

例如某次考试后，语文和数学的成绩都为均值80的正态分布。

但语文的方差为9，数学的方差为4；甲同学语文80分，数学86分。
乙同学数学80分，语文86分。

从总分来看，两人总分相同。
叨教你以为他们的能力是否也相同呢？两个86分，由正态分布的3σ原则，数学的86分是不是更加不易？是不是较语文的86分含金量更高？如何表示这种差异呢？对了，标准化处理。

我们分别打算两个86分对应的标准化成绩。

y^=(86-80)/3=2；

x^=(86-80)/2=3

减期望再除上根方差，数学的标准分就比语文的标准分高，而纯挚的总分没能表示出这样的差别。

以是标准化的思想在综合评价中，特殊是分布差异较大的指标时，是一个主要的处理方案。

既然随机变量标准化后，肃清了量纲上的差异。
那标准化变量X与Y的协方差便是两个变量二维特色的实质表示。

我们称X与Y的协方差为原变量X 与Y 的干系系数。

即为ρ（X,Y）=cov(X,Y)。

由协方差的运算性子:

那干系系数能不能较好的反响随机变量x 与y 之间的关系呢？我们来研究一下干系系数的性子。

干系系数的取值在-1到1之间。

证明:

令X= (X-EX)/√DX，Y= (Y-EY)/√DY,则

由于X与Y都是标准化变量，方差为1，协方差即为干系系数ρ（X,Y）。

由于方差总是大于即是0的，以是解不等式有2ρ(X,Y)≥-1；

同情由差的方差公式：

解不等式2ρ(X,Y)≤1。

从这个性子之干系系数取值以零为中央，旁边对称，以±1为界。

那干系系数取不同的值都代表了什么意思呢？

ρ(X,Y)即是±1的充要条件为X与Y 以概率为1完备线性干系。

即 Y与X有线性的函数关系:

证明:

从刚才性子一的证明过程之干系系数即是1时,等价于D(X-Y)=0

而方差为零的变量将以概率1取值于他的期望。

由于X与Y为标准化变量，以是X-Y的期望为零，即以概率1有X-Y即是零。

P{ X-Y=0}=1即X=Y

P((X-EX)/√DX=(Y-EY)/√DY)=1,即=(X-EX)/√DX = (Y-EY)/√DY

同理，当ρ(X,Y)即是-1时。
等价的有P{ X=-Y}=1。

表明ρ（X,Y）绝对值即是1时，X 与Y 具有最大的线性干系关系。

ρ（X,Y）=1时:

Y可以表示为X 的斜率为正的线性函数。

ρ（X,Y）=-1时：

Y 可以表示为X 的斜率为负的线性函数。

ρ（X,Y）=0时，表示X 与Y 没有一点儿线性干系的关系，称为X 与Y不线性干系。

ρ（X,Y） 不即是零时，表示X 与Y有部分的线性干系性，称X 与Y线性干系。
个中，若大于零为正干系若小于零为负干系。
ρ（X,Y）的绝对值的大小反响了干系性程度的大小。
如越靠近于1。
表示Y 越靠近于X 的正系数的线性表达；如越靠近于-1表示Y越靠近于Y 的负系数的线性表达。
若越靠近于零，表示Y 与X 的线性表达程度越来越弱，直到完备没有线性关系。

2.3干系系数和变量独立

X与Y·1 独立则协方差为零，从而干系系数也为零。
以是独立则不干系,反之则不然。
虽然X与Y不干系，不具有线性关系,但可能存在非线性的关联,那就不是独立的了，以是独立与不干系，并不等价。

但正态分布是一个特例，独立与不干系是等价的。

对付二维正态随机变量

（X、Y）~N(μ1,μ2​,σ12​,σ22​,ρ)，个中中的参数ρ，可以证明它便是X、Y 的干系系数。

由二维正态分布的性子。
X、Y独立的主要条件是ρ即是零，即X、Y不干系。